حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} + y^{2} + 1) d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 1]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2} + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.3

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

خطوة 1.6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أضف $0$ و $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

خطوة 1.6.2

أضف $2 y$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2} - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x - 2 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 x - 2 y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 y = 2 x - 2 y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x - 2 y$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} - 2 x y$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 y - (2 x) - (- 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x - (- 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x + 2 y}{x^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.2.4

أضف $2 y$ و $2 y$ .

$\frac{- 2 x + 4 y}{x^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.2.5

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x + 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 4 y}{x^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.2.5.2

أخرِج العامل $2$ من $4 y$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.2.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x) + 2 (2 y)$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x \cdot x - 2 x y}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x y$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x \cdot x + x (- 2 y)}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- x + 2 y$ و $x - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

خطوة 4.3.4.2

أخرِج العامل $- 1$ من $2 y$ .

$\frac{2 (- (x) - (- 2 y))}{x (x - 2 y)}$

خطوة 4.3.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

خطوة 4.3.4.4

أعِد كتابة $- (x - 2 y)$ بالصيغة $- 1 (x - 2 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

خطوة 4.3.4.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

خطوة 4.3.4.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

خطوة 4.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

خطوة 4.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(x^{2} + y^{2} + 1) d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x^{2} + y^{2} + 1$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{2} + y^{2} + 1) \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $x^{2} + y^{2} + 1$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x^{2} - 2 x y$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $x^{2} - 2 x y$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} - 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.5

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x - 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.5.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x y$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.5.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (- 2 y)$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 6.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 6.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} d x + \frac{x - 2 y}{x} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - 2 y}{x} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = \frac{x - 2 y}{x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} + \frac{- 2 y}{x} d y$

خطوة 8.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

خطوة 8.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \int d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

خطوة 8.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (x, y) = \int d y + \int - \frac{2 y}{x} d y$

خطوة 8.4

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = y + C + \int - \frac{2 y}{x} d y$

خطوة 8.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = y + C - \int \frac{2 y}{x} d y$

خطوة 8.6

بما أن $\frac{2}{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{2}{x}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = y + C - (\frac{2}{x} \int y d y)$

خطوة 8.7

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} \int y d y$

خطوة 8.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 8.9

بسّط.

$f (x, y) = y - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.10.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{x}$ .

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

خطوة 8.10.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.10.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

خطوة 8.10.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = y - \frac{1}{x} y^{2} + C$

خطوة 8.10.3

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 11.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 11.2.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $- y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{y^{2}}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$0 - y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 11.3.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$0 + 1 y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 11.3.5

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + y^{2} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 11.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.1

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 11.5.2.2

أضف $0$ و $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اطرح $\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2} + 1)}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{2} - x^{2} - y^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.1

اطرح $y^{2}$ من $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0 - 1}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2

أضف $- x^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5

لكتابة $\frac{d g}{d x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}} = 0$

خطوة 12.1.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - x^{2} - 1 = 0$

خطوة 12.1.3

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1.1

أضف $x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 1 = x^{2}$

خطوة 12.1.3.1.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$

خطوة 12.1.3.2

اقسِم كل حد في $\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.1

اقسِم كل حد في $\frac{d g}{d x} x^{2} = x^{2} + 1$ على $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 12.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 12.1.3.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d g}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 12.1.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 12.1.3.2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d x} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $1 + \frac{1}{x^{2}}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 13.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (x) = \int d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 13.4

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = x + C + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 13.5

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$g (x) = x + C + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 13.6

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = x + C + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 13.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$g (x) = x + C + \int x^{- 2} d x$

خطوة 13.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$g (x) = x + C - x^{- 1} + C$

خطوة 13.8

بسّط.

$g (x) = x - \frac{1}{x} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + x - \frac{1}{x} + C$