حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y - x + x y \cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x + x y \cot (x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - x + x y \cot (x)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

خطوة 1.2.3

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $x \cot (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y \cot (x)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + x \cot (x)$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cot (x) + 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $x \cot (x) + 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x \cot (x) + 1 = 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$x \cot (x) + 1 = 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $x \cot (x) + 1$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{x}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{x \cot (x) + 0}{x}$

خطوة 4.3.2.2

أضف $x \cot (x)$ و $0$ .

$\frac{x \cot (x)}{x}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cot (x)}{x}$

خطوة 4.3.3.2

اقسِم $\cot (x)$ على $1$ .

$\cot (x)$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \cot (x) d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \cot (x) d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

تكامل $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sin (x) |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

خطوة 5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |)} + C$

خطوة 5.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | \sin (x) | + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$ في عامل التكامل $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y - x + x y \cot (x)$ في $\sin (x)$ .

$(y - x + x y \cot (x)) \sin (x) d x + x d y = 0$

خطوة 6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$(y - x + x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

خطوة 6.2.2

اضرب $x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع $x$ و $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + y \frac{x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

خطوة 6.2.2.2

اجمع $y$ و $\frac{x \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + \frac{y (x \cos (x))}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

$(y - x + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

خطوة 6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $x$ في $\sin (x)$ .

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x \sin (x) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x \sin (x)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x \sin (x) y + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y + g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x \sin (x) y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x \sin (x) y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

خطوة 11.3.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

خطوة 11.3.5

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

خطوة 11.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $x y \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x)$

خطوة 12.1.2

اطرح $y \sin (x)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

خطوة 12.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $y x \cos (x)$ و $- x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

خطوة 12.1.3.2

اطرح $x y \cos (x)$ من $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

خطوة 12.1.3.3

أضف $y \sin (x) - x \sin (x)$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) - y \sin (x)$

خطوة 12.1.3.4

اطرح $y \sin (x)$ من $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

خطوة 12.1.3.5

أضف $- x \sin (x)$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- x \sin (x)$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

خطوة 13.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

خطوة 13.4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

خطوة 13.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

خطوة 13.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

خطوة 13.6.2

اضرب $\int \cos (x) d x$ في $1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

خطوة 13.7

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

خطوة 13.8

أعِد كتابة $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ بالصيغة $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

خطوة 15

بسّط $f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

خطوة 15.1.2

اضرب $- (- x \cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

خطوة 15.1.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$

خطوة 15.2

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$ .

$f (x, y) = x y \sin (x) + x \cos (x) - \sin (x) + C$