حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 20 y = 24$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 20 d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{20 x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{20 x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{20 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{20 x}$ .

$e^{20 x} \frac{d y}{d x} + e^{20 x} (20 y) = e^{20 x} \cdot 24$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{20 x} \frac{d y}{d x} + 20 e^{20 x} y = e^{20 x} \cdot 24$

خطوة 2.3

انقُل $24$ إلى يسار $e^{20 x}$ .

$e^{20 x} \frac{d y}{d x} + 20 e^{20 x} y = 24 \cdot e^{20 x}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{20 x} \frac{d y}{d x} + 20 e^{20 x} y = 24 e^{20 x}$ .

$e^{20 x} \frac{d y}{d x} + 20 y e^{20 x} = 24 e^{20 x}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{20 x} y] = 24 e^{20 x}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{20 x} y] d x = \int 24 e^{20 x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{20 x} y = \int 24 e^{20 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $24$ خارج التكامل.

$e^{20 x} y = 24 \int e^{20 x} d x$

خطوة 6.2

لنفترض أن $u = 20 x$ . إذن $d u = 20 d x$ ، لذا $\frac{1}{20} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

افترض أن $u = 20 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أوجِد مشتقة $20 x$ .

$\frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 6.2.1.2

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$20 \cdot 1$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $20$ في $1$ .

$20$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{20 x} y = 24 \int e^{u} \frac{1}{20} d u$

خطوة 6.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{20}$ .

$e^{20 x} y = 24 \int \frac{e^{u}}{20} d u$

خطوة 6.4

بما أن $\frac{1}{20}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{20}$ خارج التكامل.

$e^{20 x} y = 24 (\frac{1}{20} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اجمع $\frac{1}{20}$ و $24$ .

$e^{20 x} y = \frac{24}{20} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $24$ و $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$e^{20 x} y = \frac{4 (6)}{20} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$e^{20 x} y = \frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 5} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{20 x} y = \frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 5} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{20 x} y = \frac{6}{5} \int e^{u} d u$

خطوة 6.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{20 x} y = \frac{6}{5} (e^{u} + C)$

خطوة 6.7

بسّط.

$e^{20 x} y = \frac{6}{5} e^{u} + C$

خطوة 6.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $20 x$ .

$e^{20 x} y = \frac{6}{5} e^{20 x} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{20 x} y = \frac{6}{5} e^{20 x} + C$ على $e^{20 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{20 x} y = \frac{6}{5} e^{20 x} + C$ على $e^{20 x}$ .

$\frac{e^{20 x} y}{e^{20 x}} = \frac{\frac{6}{5} e^{20 x}}{e^{20 x}} + \frac{C}{e^{20 x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{20 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{20 x} y}{e^{20 x}} = \frac{\frac{6}{5} e^{20 x}}{e^{20 x}} + \frac{C}{e^{20 x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{6}{5} e^{20 x}}{e^{20 x}} + \frac{C}{e^{20 x}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{20 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{6}{5} e^{20 x}}{e^{20 x}} + \frac{C}{e^{20 x}}$

خطوة 7.3.1.2

اقسِم $\frac{6}{5}$ على $1$ .

$y = \frac{6}{5} + \frac{C}{e^{20 x}}$