حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x e^{- x^{2}}}{y})$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

خطوة 1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x e^{- x^{2}}}{y}$

خطوة 1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = - (x e^{- x^{2}})$

$y \frac{d y}{d x} = - x e^{- x^{2}}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = - x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int - x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

خطوة 2.3.2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

خطوة 2.3.2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

خطوة 2.3.2.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2}) + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اجمع $u_{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - - \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.3

اضرب $\frac{u_{2}}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{- x^{2}}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{e^{- x^{2}}}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = e^{- x^{2}} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$