حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{y - 1}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y - 1$ .

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = (y - 1) \frac{x + 1}{y - 1}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = (y - 1) \frac{x + 1}{y - 1}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = x + 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(y - 1) d y = (x + 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y - 1 d y = \int x + 1 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y d y + \int - 1 d y = \int x + 1 d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y = \int x + 1 d x$

خطوة 2.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} = \int x + 1 d x$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \int x + 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \int x d x + \int d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + x + C_{5}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - y = \frac{x^{2}}{2} + x + K$

خطوة 3.3

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $\frac{x^{2}}{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{x^{2}}{2} = x + K$

خطوة 3.3.2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{x^{2}}{2} - x = K$

خطوة 3.3.3

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{x^{2}}{2} - x - K = 0$

خطوة 3.4

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $2$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} + 2 (- y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y^{2} - 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} - 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} - 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} - 2 y - x^{2} + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y^{2} - 2 y - x^{2} - 2 x + 2 (- K) = 0$

خطوة 3.4.2.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y^{2} - 2 y - x^{2} - 2 x - 2 K = 0$

خطوة 3.4.3

انقُل $- 2 y$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 x - 2 K - 2 y = 0$

خطوة 3.4.4

انقُل $- 2 x$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 K - 2 x - 2 y = 0$

خطوة 3.4.5

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} + y^{2} - 2 K - 2 x - 2 y = 0$

خطوة 3.5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.6

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 2$ و $c = - x^{2} - 2 K - 2 x$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 2 x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.4.2

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.4.3

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5

أخرِج العامل $4$ من $4 + 4 x^{2} + 8 K + 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.2

أخرِج العامل $4$ من $8 K$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K) + 8 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.3

أخرِج العامل $4$ من $8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.4

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot 1 + 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.5

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.5.6

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot (1 + x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.6

أعِد كتابة $4 (1 + x^{2} + 2 K + 2 x)$ بالصيغة $2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K + 2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.6.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.1.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$

خطوة 3.7.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

خطوة 3.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{2} + K + 2 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{2} + K + 2 x}$