حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \ln (x)$ , $y (1) = 2$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

خطوة 1.4

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

خطوة 1.5

احذِف الأقواس.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

خطوة 1.6

انقُل $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \ln (x)$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \ln (x) d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{2} y = \int \ln (x) d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = 1$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int d x$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$x^{2} y = \ln (x) x - (x + C)$

خطوة 5.4

بسّط.

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $\ln (x) x$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 6.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 7

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $2$ عن $y$ في $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$2 = \frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$ .

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

خطوة 8.2

بسّط $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (1) - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

خطوة 8.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{0 - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

خطوة 8.2.3

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{- 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

خطوة 8.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1^{2}} = 2$

خطوة 8.2.4.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 1 + \frac{C}{1} = 2$

خطوة 8.2.4.3

اقسِم $C$ على $1$ .

$- 1 + C = 2$

خطوة 8.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$C = 2 + 1$

خطوة 8.3.2

أضف $2$ و $1$ .

$C = 3$

خطوة 9

عوّض بـ $3$ عن $C$ في $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $3$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$