حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d r}{d θ} = π \sin (π θ)$ , $r (0) = 3$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d r = π \sin (π θ) d θ$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d r = \int π \sin (π θ) d θ$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$r + C_{1} = \int π \sin (π θ) d θ$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، انقُل $π$ خارج التكامل.

$r + C_{1} = π \int \sin (π θ) d θ$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = π θ$ . إذن $d u = π d θ$ ، لذا $\frac{1}{π} d u = d θ$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = π θ$ . أوجِد $\frac{d u}{d θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $π θ$ .

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

خطوة 2.3.2.1.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $π θ$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $π \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$π \cdot 1$

خطوة 2.3.2.1.4

اضرب $π$ في $1$ .

$π$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$r + C_{1} = π \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

خطوة 2.3.3

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = π \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{π}$ خارج التكامل.

$r + C_{1} = π (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{π}$ و $π$ .

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$r + C_{1} = 1 \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.5.3

اضرب $\int \sin (u) d u$ في $1$ .

$r + C_{1} = \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.6

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$r + C_{1} = - \cos (u) + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $π θ$ .

$r + C_{1} = - \cos (π θ) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$r = - \cos (π θ) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $θ$ وبـ $3$ عن $r$ في $r = - \cos (π θ) + K$ .

$3 = - \cos (π \cdot 0) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \cos (π \cdot 0) + K = 3$ .

$- \cos (π \cdot 0) + K = 3$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $π$ في $0$ .

$- \cos (0) + K = 3$

خطوة 4.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 3$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + K = 3$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$K = 3 + 1$

خطوة 4.3.2

أضف $3$ و $1$ .

$K = 4$

خطوة 5

عوّض بـ $4$ عن $K$ في $r = - \cos (π θ) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $4$ .

$r = - \cos (π θ) + 4$