حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y^{2} - x^{2}) d x + x (y d) y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y^{2} - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - x^{2}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

خطوة 1.4

بما أن $- x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

خطوة 1.5

أضف $2 y$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 y = y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $y$ .

$\frac{2 y - y}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x y$ .

$\frac{2 y - y}{x y}$

خطوة 4.3.2

اطرح $y$ من $2 y$ .

$\frac{y}{x y}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x y}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

خطوة 5.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | x | + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(y^{2} - x^{2}) d x + x y d y = 0$ في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y^{2} - x^{2}$ في $x$ .

$(y^{2} - x^{2}) x d x + x y d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(y^{2} x - x^{2} x) d x + x y d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل $x$ .

$(y^{2} x - (x \cdot x^{2})) d x + x y d y = 0$

خطوة 6.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(y^{2} x - (x^{1} x^{2})) d x + x y d y = 0$

خطوة 6.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(y^{2} x - x^{1 + 2}) d x + x y d y = 0$

خطوة 6.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$(y^{2} x - x^{3}) d x + x y d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $x y$ في $x$ .

$(y^{2} x - x^{3}) d x + x y x d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

انقُل $x$ .

$(y^{2} x - x^{3}) d x + x \cdot x y d y = 0$

خطوة 6.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(y^{2} x - x^{3}) d x + x^{2} y d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x^{2} y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 8.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

خطوة 8.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} x - x^{3}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

خطوة 11.3.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

خطوة 11.3.3

بما أن $\frac{y^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

خطوة 11.3.5

اجمع $2$ و $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

خطوة 11.3.6

اجمع $\frac{2 y^{2}}{2}$ و $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

خطوة 11.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

خطوة 11.3.7.2

اقسِم $y^{2} x$ على $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} x - x^{3}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x + \frac{d g}{d x} = y^{2} x - x^{3}$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x = y^{2} x - x^{3}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $y^{2} x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} x - x^{3} - y^{2} x$

خطوة 12.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{2} x - x^{3} - y^{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

اطرح $y^{2} x$ من $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3} + 0$

خطوة 12.1.2.2

أضف $- x^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- x^{3}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = - x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{3} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{3} d x$

خطوة 13.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = - \int x^{3} d x$

خطوة 13.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

خطوة 13.5

أعِد كتابة $- (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

خطوة 15.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

خطوة 15.3

اجمع $x^{4}$ و $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4} + C$