حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} d y = x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ من ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ من $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

خطوة 3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

خطوة 3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $y$ .

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ من ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ من $x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x d x$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 1 + y^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 1 + y^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

خطوة 4.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 4.2.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 4.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 y$

خطوة 4.2.1.1.5

أضف $0$ و $2 y$ .

$2 y$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2.4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

انقُل ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2.4.2

اضرب الأُسس في ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2.4.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2.4.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2.6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2.6.2.3

اضرب ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + y^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لنفترض أن $u_{2} = 1 + x^{2}$ . إذن $d u_{2} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

افترض أن $u_{2} = 1 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 4.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.3.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 4.3.1.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 4.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $\frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 4.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 4.3.4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

انقُل ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 4.3.4.2

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 4.3.4.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.4.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 4.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.6.2.3

اضرب ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + x^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$