حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x \cos^{2} (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cos^{2} (y)]$

خطوة 1.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x \cos^{2} (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

خطوة 1.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot x \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

خطوة 1.5

مشتق $\cos (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \sin (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) (- \sin (y))$

خطوة 1.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cos (y) \sin (y)$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = \tan (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (y)]$

خطوة 2.2

بما أن $\tan (y)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\tan (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $0$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x \cos^{2} (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x \cos^{2} (y)$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{0 + 2 (x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

خطوة 4.3.2.2

أعِد ترتيب $2$ و $x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{0 + x \cos (y) \sin (y) \cdot 2}{x \cos^{2} (y)}$

خطوة 4.3.2.3

أضف الأقواس.

$\frac{0 + x \cos (y) (\sin (y) \cdot 2)}{x \cos^{2} (y)}$

خطوة 4.3.2.4

أضف الأقواس.

$\frac{0 + x (\cos (y) (\sin (y) \cdot 2))}{x \cos^{2} (y)}$

خطوة 4.3.2.5

أعِد ترتيب $\cos (y)$ و $\sin (y) \cdot 2$ .

$\frac{0 + x (\sin (y) \cdot 2 \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

خطوة 4.3.2.6

أعِد ترتيب $\sin (y)$ و $2$ .

$\frac{0 + x (2 \cdot \sin (y) \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

خطوة 4.3.2.7

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\frac{0 + x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

خطوة 4.3.2.8

أضف $0$ و $x \sin (2 y)$ .

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sin (2 y)}{\cos^{2} (y)}$

خطوة 4.3.4

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\frac{2 \sin (y) \cos (y)}{\cos^{2} (y)}$

خطوة 4.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $\cos (y)$ و $\cos^{2} (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أخرِج العامل $\cos (y)$ من $2 \sin (y) \cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos^{2} (y)}$

خطوة 4.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.1

أخرِج العامل $\cos (y)$ من $\cos^{2} (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

خطوة 4.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

خطوة 4.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \sin (y)}{\cos (y)}$

خطوة 4.3.6

افصِل الكسور.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

خطوة 4.3.7

حوّل من $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ إلى $\tan (y)$ .

$\frac{2}{1} \tan (y)$

خطوة 4.3.8

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $x \cos^{2} (y)$ .

$2 \tan (y)$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 \tan (y) d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int 2 \tan (y) d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{2 \int \tan (y) d y}$

خطوة 5.2

تكامل $\tan (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

خطوة 5.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

خطوة 5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $2 \ln (| \sec (y) |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{2})} + C$

خطوة 5.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{2} + C$

خطوة 5.4.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| \sec (y) |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = \sec^{2} (y) + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$ في عامل التكامل $\sec^{2} (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x \cos^{2} (y)$ في $\sec^{2} (y)$ .

$x \cos^{2} (y) \sec^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $\sec (y)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$x \cos^{2} (y) {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

خطوة 6.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$x \cos^{2} (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $\cos^{2} (y)$ من $x \cos^{2} (y)$ .

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

خطوة 6.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

خطوة 6.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$x \cdot 1^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

خطوة 6.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x \cdot 1 d x + \tan (y) d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $x$ في $1$ .

$x d x + \tan (y) d y = 0$

خطوة 6.7

اضرب $\tan (y)$ في $\sec^{2} (y)$ .

$x d x + \tan (y) \sec^{2} (y) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = x$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

خطوة 11.3

بما أن $\frac{1}{2} x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\frac{1}{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

خطوة 11.5

أضف $0$ و $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

خطوة 12

أوجِد المشتق العكسي لـ $\tan (y) \sec^{2} (y)$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

خطوة 12.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

خطوة 12.3

لنفترض أن $u = \sec (y)$ . إذن $d u = \sec (y) \tan (y) d y$ ، لذا $\frac{1}{\sec (y) \tan (y)} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

افترض أن $u = \sec (y)$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (y)]$

خطوة 12.3.1.2

مشتق $\sec (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\sec (y) \tan (y)$ .

$\sec (y) \tan (y)$

خطوة 12.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (y) = \int u d u$

خطوة 12.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 12.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (y)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

خطوة 13

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

خطوة 14

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

خطوة 14.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sec^{2} (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec^{2} (y)}{2} + C$