حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - 3 \sec^{2} (x - 7)$ , $y (7) = 7$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = - 3 \sec^{2} (x - 7) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - 3 \sec^{2} (x - 7) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int - 3 \sec^{2} (x - 7) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - 3 \int \sec^{2} (x - 7) d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = x - 7$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = x - 7$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.3.2.1.4

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = - 3 \int \sec^{2} (u) d u$

خطوة 2.3.3

بما أن مشتق $\tan (u)$ هو $\sec^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (u)$ هو $\tan (u)$ .

$y + C_{1} = - 3 (\tan (u) + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$y + C_{1} = - 3 \tan (u) + C_{2}$

خطوة 2.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 7$ .

$y + C_{1} = - 3 \tan (x - 7) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - 3 \tan (x - 7) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $7$ عن $x$ وبـ $7$ عن $y$ في $y = - 3 \tan (x - 7) + K$ .

$7 = - 3 \tan (7 - 7) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 3 \tan (7 - 7) + K = 7$ .

$- 3 \tan (7 - 7) + K = 7$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $- 3 \tan (7 - 7) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اطرح $7$ من $7$ .

$- 3 \tan (0) + K = 7$

خطوة 4.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$- 3 \cdot 0 + K = 7$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $- 3$ في $0$ .

$0 + K = 7$

خطوة 4.2.1.3

أضف $0$ و $K$ .

$K = 7$

خطوة 5

عوّض بـ $7$ عن $K$ في $y = - 3 \tan (x - 7) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $7$ .

$y = - 3 \tan (x - 7) + 7$