حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 4}{5 x}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} \cdot \frac{y - 4}{5 x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} \cdot \frac{y - 4}{5 x}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 x}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y - 4} d y = \frac{1}{5 x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int \frac{1}{5 x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = y - 4$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = y - 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y - 4$ .

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 4$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{5 x} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y - 4$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y - 4 |) = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 4 |) = \frac{\ln (| x |)}{5} + C$

خطوة 3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y - 4 |) - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

خطوة 3.3

لكتابة $\ln (| y - 4 |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| y - 4 |) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

خطوة 3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع $\ln (| y - 4 |)$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (| y - 4 |) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

خطوة 3.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (| y - 4 |) \cdot 5 - \ln (| x |)}{5} = C$

خطوة 3.5

انقُل $5$ إلى يسار $\ln (| y - 4 |)$ .

$\frac{5 \ln (| y - 4 |) - \ln (| x |)}{5} = C$

خطوة 3.6

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط $\frac{5 \ln (| y - 4 |) - \ln (| x |)}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1.1

بسّط $5 \ln (| y - 4 |)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({| y - 4 |}^{5}) - \ln (| x |)}{5} = C$

خطوة 3.6.1.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})}{5} = C$

خطوة 3.6.1.2

أعِد كتابة $\frac{\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})}{5}$ بالصيغة $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})$ .

$\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |}) = C$

خطوة 3.6.1.3

بسّط $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})$ بنقل $\frac{1}{5}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({(\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |})}^{\frac{1}{5}}) = C$

خطوة 3.6.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{{| y - 4 |}^{5}}{| x |}$ .

$\ln (\frac{{({| y - 4 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

خطوة 3.6.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1

اضرب الأُسس في ${({| y - 4 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (\frac{{| y - 4 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (\frac{{| y - 4 |}^{1}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

خطوة 3.6.1.5.2

بسّط.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

خطوة 3.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}})} = e^{C}$

خطوة 3.8

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}$

خطوة 3.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$

خطوة 3.9.2

اضرب كلا الطرفين في ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

خطوة 3.9.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y - 4 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

خطوة 3.9.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y - 4 | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

خطوة 3.9.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.4.1

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y - 4 = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

خطوة 3.9.4.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}} + 4$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 4$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 4$