حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + \ln (x)) d x + (1 + \ln (y)) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(1 + \ln (x)) d x$ من كلا المتعادلين.

$(1 + \ln (y)) d y = - (1 + \ln (x)) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 1 + \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d y + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

خطوة 2.2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

خطوة 2.2.3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (y)$ و $d v = 1$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اجمع $y$ و $\frac{1}{y}$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

خطوة 2.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

خطوة 2.2.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

خطوة 2.2.5

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} + \ln (y) y - (y + C_{2}) = \int - (1 + \ln (x)) d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

بسّط.

$y + \ln (y) y - y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

خطوة 2.2.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

اطرح $y$ من $y$ .

$\ln (y) y + 0 + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

خطوة 2.2.6.2.2

أضف $\ln (y) y$ و $0$ .

$\ln (y) y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

خطوة 2.2.7

أعِد ترتيب الحدود.

$y \ln (y) + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y \ln (y) + C_{3} = - \int 1 + \ln (x) d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y \ln (y) + C_{3} = - (\int d x + \int \ln (x) d x)$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \ln (x) d x)$

خطوة 2.3.4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = 1$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

خطوة 2.3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

خطوة 2.3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int d x)$

خطوة 2.3.6

طبّق قاعدة الثابت.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5}))$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$y \ln (y) + C_{3} = - \ln (x) x + C_{6}$

خطوة 2.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$y \ln (y) + C_{3} = - x \ln (x) + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y \ln (y) = - x \ln (x) + K$