حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = (x - 2) e^{- 2 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} ((x - 2) e^{- 2 y})$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 2 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $e^{- 2 y}$ من $(x - 2) e^{- 2 y}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} (x - 2))$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} (x - 2))$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = x - 2$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = (x - 2) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int x - 2 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{- 2 y}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int x - 2 d x$

خطوة 2.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int x - 2 d x$

خطوة 2.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\int 1 e^{2 y} d y = \int x - 2 d x$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $e^{2 y}$ في $1$ .

$\int e^{2 y} d y = \int x - 2 d x$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = 2 y$ . إذن $d u = 2 d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u = 2 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 2.2.2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.2.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x - 2 d x$

خطوة 2.2.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x - 2 d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x - 2 d x$

خطوة 2.2.5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x - 2 d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x - 2 d x$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int x - 2 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{2 y} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$e^{2 y} = 2 (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{2 y} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (- 2 x) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{2 y} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (- 2 x) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{2 y} = x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$e^{2 y} = x^{2} - 4 x + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$

خطوة 3.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $\ln (e^{2 y})$ بنقل $2 y$ خارج اللوغاريتم.

$2 y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$

خطوة 3.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$

خطوة 3.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 y = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$

خطوة 3.5

اقسِم كل حد في $2 y = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اقسِم كل حد في $2 y = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x^{2} - 4 x + 2 K)}{2}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x^{2} - 4 x + 2 K)}{2}$

خطوة 3.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{2} - 4 x + 2 K)}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\ln (x^{2} - 4 x + K)}{2}$