حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ في $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 1.2

اضرب $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ في $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 1.5

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.6.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.7

اجمع $y$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 1.8

استخدِم قوة قاعدة القسمة $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{2}}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$

خطوة 6.1.1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.2

لكتابة $- V$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V \cdot \frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.3.3.1

اجمع $- V$ و $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} + \frac{- V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.3.4.1

أخرِج العامل $V$ من $V - V (1 + V^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.3.4.1.1

ارفع $V$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.4.1.2

أخرِج العامل $V$ من $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.4.1.3

أخرِج العامل $V$ من $- V (1 + V^{2})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.4.1.4

أخرِج العامل $V$ من $V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 \cdot 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.4.4

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.4.5

اطرح $V^{2}$ من $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1 V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.4.6

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.3.4.6.1

أخرِج السالب.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.4.6.2

اضرب $V$ في $V^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.3.4.6.2.1

اضرب $V$ في $V^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.3.4.6.2.1.1

ارفع $V$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.4.6.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{1 + 2}}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.4.6.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.1.2.3.7

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{x (1 + V^{2})}$

خطوة 6.1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4.2

اضرب $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + V^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V^{2})}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.3.2

أخرِج العامل $1 + V^{2}$ من $- (1 + V^{2})$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.3.3

أخرِج العامل $1 + V^{2}$ من $(1 + V^{2}) x$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) (x)}$

خطوة 6.1.4.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

خطوة 6.1.4.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

خطوة 6.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $V^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

خطوة 6.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

انقُل $V^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (1 + V^{2}) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(V^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V^{2}) V^{3 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int (1 + V^{2}) V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $(1 + V^{2}) V^{- 3}$ .

$\int 1 V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

اضرب $V^{- 3}$ في $1$ .

$\int V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.2

اضرب $V^{2}$ في $V^{- 3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int V^{- 3} + V^{2 - 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.2.2

اطرح $3$ من $2$ .

$\int V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int V^{- 3} d V + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $V^{- 3}$ بالنسبة إلى $V$ هو $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6

تكامل $V^{- 1}$ بالنسبة إلى $V$ هو $\ln (| V |)$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \ln (| V |) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.7.1

بسّط.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.7.2.1

اضرب $\frac{1}{V^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.7.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

خطوة 6.2.3.3

بسّط.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

خطوة 8.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

خطوة 8.3

اضرب $| \frac{y}{x} | | x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

خطوة 8.3.2

اجمع $\frac{y}{x}$ و $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

خطوة 8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

خطوة 8.4.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

خطوة 8.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

خطوة 8.5.2

اجمع $2$ و $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

خطوة 8.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

خطوة 8.5.4

اضرب $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ في $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$