حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sec^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec^{2} (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.3

أعِد كتابة $\sec (y)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\int {(1 \cos (y))}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.1.5

اضرب $\cos (y)$ في $1$ .

$\int \cos^{2} (y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.2

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (y)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.6

لنفترض أن $u = 2 y$ . إذن $d u = 2 d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

افترض أن $u = 2 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1.1

أوجِد مشتقة $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 2.2.6.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.2.6.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.2.6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.7

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.9

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.10

بسّط.

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 y$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 y)$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.12.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y$ .

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.12.4

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.12.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.2.13

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) = \arctan (x) + K$