حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$ على $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $y$ من $\frac{2 y}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x^{2} - 1} y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{2}{x^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{x^{2} - 1} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

خطوة 2.2.2

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

خطوة 2.2.2.1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 2.2.2.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

خطوة 2.2.2.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.1.7.1.2

اقسِم $(A) (x - 1)$ على $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.1.7.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.1.7.4

أعِد كتابة $- 1 A$ بالصيغة $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.1.7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.7.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.1.7.5.2

اقسِم $(B) (x + 1)$ على $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

خطوة 2.2.2.1.7.6

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

خطوة 2.2.2.1.7.7

اضرب $B$ في $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

خطوة 2.2.2.1.8

انقُل $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

خطوة 2.2.2.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 2.2.2.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = - 1 A + B$

خطوة 2.2.2.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

خطوة 2.2.2.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $0 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

خطوة 2.2.2.3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

خطوة 2.2.2.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = - 1 A + B$ بـ $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

خطوة 2.2.2.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.2.2.1

بسّط $- 1 (- B) + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.2.2.1.1

اضرب $- 1 (- B)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.2.2.1.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

خطوة 2.2.2.3.2.2.1.1.2

اضرب $B$ في $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

خطوة 2.2.2.3.2.2.1.2

أضف $B$ و $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

خطوة 2.2.2.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $1 = 2 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

خطوة 2.2.2.3.3.2

اقسِم كل حد في $2 B = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $2 B = 1$ على $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

خطوة 2.2.2.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

خطوة 2.2.2.3.3.2.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

خطوة 2.2.2.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $\frac{1}{2}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = - B$ بـ $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

خطوة 2.2.2.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

خطوة 2.2.2.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

خطوة 2.2.2.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.5.2

اضرب $\frac{1}{x + 1}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.5.3

انقُل $2$ إلى يسار $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

خطوة 2.2.2.5.5

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x - 1}$ .

$e^{2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

خطوة 2.2.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$e^{2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

خطوة 2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

خطوة 2.2.5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

خطوة 2.2.6

لنفترض أن $u_{1} = x + 1$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

افترض أن $u_{1} = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.2.6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.6.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

خطوة 2.2.7

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

خطوة 2.2.8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

خطوة 2.2.9

لنفترض أن $u_{2} = x - 1$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.1

افترض أن $u_{2} = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 2.2.9.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.9.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.9.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

خطوة 2.2.10

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

خطوة 2.2.11

بسّط.

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

خطوة 2.2.12

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

خطوة 2.2.12.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

خطوة 2.2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.1.1

اجمع $\ln (| x + 1 |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

خطوة 2.2.13.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| x - 1 |)$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

خطوة 2.2.13.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

خطوة 2.2.13.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

خطوة 2.2.13.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (x + 1) + \ln (x - 1)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1}) + \ln (x - 1)}$

خطوة 2.5

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1} (x - 1))}$

خطوة 2.6

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

${(x + 1)}^{- 1} (x - 1)$

خطوة 2.7

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + 1} (x - 1)$

خطوة 2.8

اضرب $\frac{1}{x + 1}$ في $x - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{x - 1}{x + 1}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.2.2.2

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ و $y$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.2.5

اضرب $\frac{1}{x + 1}$ في $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.2.6

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.2.7

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.2.9

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.3

لكتابة $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك ${(x + 1)}^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.4.2

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.4.3

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.6.2

أعِد كتابة $- 1 \frac{d y}{d x}$ بالصيغة $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.6.3

وسّع $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.6.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.6.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.6.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.6.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.6.4.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.6.4.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.6.4.2

اطرح $\frac{d y}{d x} x$ من $x \frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.2.1

انقُل $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.6.4.2.2

اطرح $x \frac{d y}{d x}$ من $x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.6.4.3

أضف $x^{2} \frac{d y}{d x}$ و $0$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أخرِج العامل $x + 1$ من ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1}$

خطوة 3.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1^{2}}$

خطوة 3.8.2

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 3.9

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

خطوة 3.9.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

خطوة 3.9.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

خطوة 3.10

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

خطوة 3.10.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = 1$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] = 1$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] d x = \int d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = \int d x$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = x + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط $\frac{x - 1}{x + 1} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اجمع $\frac{x - 1}{x + 1}$ و $y$ .

$\frac{(x - 1) y}{x + 1} = x + C$

خطوة 8.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{(x - 1) y}{x + 1}$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} = x + C$

خطوة 8.2

اضرب كلا الطرفين في $x + 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

بسّط $\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

خطوة 8.3.1.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y (x - 1) = (x + C) (x + 1)$

خطوة 8.3.1.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y x + y \cdot - 1 = (x + C) (x + 1)$

خطوة 8.3.1.1.1.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$y x - 1 \cdot y = (x + C) (x + 1)$

خطوة 8.3.1.1.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$y x - y = (x + C) (x + 1)$

خطوة 8.3.1.1.3

أعِد ترتيب $y$ و $x$ .

$x y - y = (x + C) (x + 1)$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

بسّط $(x + C) (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

وسّع $(x + C) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x y - y = x (x + 1) + C (x + 1)$

خطوة 8.3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C (x + 1)$

خطوة 8.3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

خطوة 8.3.2.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x y - y = x^{2} + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

خطوة 8.3.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C \cdot 1$

خطوة 8.3.2.1.2.1.3

اضرب $C$ في $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C$

خطوة 8.3.2.1.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.2.1

انقُل $x$ .

$x y - y = x^{2} + C x + C + x$

خطوة 8.3.2.1.2.2.2

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $C x$ .

$x y - y = C x + x^{2} + C + x$

خطوة 8.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

أخرِج العامل $y$ من $x y - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$y x - y = C x + x^{2} + C + x$

خطوة 8.4.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = C x + x^{2} + C + x$

خطوة 8.4.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$

خطوة 8.4.2

اقسِم كل حد في $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ على $x - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

اقسِم كل حد في $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ على $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

خطوة 8.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

خطوة 8.4.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

خطوة 8.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.3.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.3.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{C x + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

خطوة 8.4.2.3.1.2

أخرِج العامل $x$ من $C x + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $C x$ .

$y = \frac{x C + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

خطوة 8.4.2.3.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$y = \frac{x C + x \cdot x}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

خطوة 8.4.2.3.1.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x C + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (C + x)}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

خطوة 8.4.2.3.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x (C + x) + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

خطوة 8.4.2.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{x C + x \cdot x + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

خطوة 8.4.2.3.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \frac{x C + x^{2} + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

خطوة 8.4.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

خطوة 8.4.2.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.3.4.1

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.3.4.1.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

خطوة 8.4.2.3.4.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$y = \frac{x (C + x) + 1 (C + x)}{x - 1}$

خطوة 8.4.2.3.4.2

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $C + x$ .

$y = \frac{(C + x) (x + 1)}{x - 1}$