حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x - 2 y) d x - (2 x + y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

خطوة 1.2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

خطوة 1.4

اطرح $2$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - (2 x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x + y)]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (2 x + y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [2 x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x + y]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.6

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.7

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + 0)$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 2$

خطوة 2.8.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 2$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 2$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- 2 = - 2$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (2 x + y) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - (2 x + y)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \int 2 x + y d y$

خطوة 5.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = - (\int 2 x d y + \int y d y)$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - (2 x y + C + \int y d y)$

خطوة 5.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + C + \frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 5.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + C + \frac{y^{2}}{2} + C)$

خطوة 5.6

بسّط.

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - 2 y$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = x - 2 y$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = x - 2 y$

خطوة 8.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [2 x y + \frac{y^{2}}{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [2 x y + \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y + \frac{y^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]$ .

$- (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

خطوة 8.3.3

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

خطوة 8.3.5

بما أن $\frac{y^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{y^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- (2 y \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

خطوة 8.3.6

اضرب $2$ في $1$ .

$- (2 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

خطوة 8.3.7

أضف $2 y$ و $0$ .

$- (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

خطوة 8.3.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y + \frac{d g}{d x} = x - 2 y$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x - 2 y$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أضف $2 y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 2 y$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 2 y + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أضف $- 2 y$ و $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

خطوة 10.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = - (2 x y) - \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) - \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x y - \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$