حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x + 3 y) d x - x d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x + 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 y]$

خطوة 1.2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3$

خطوة 1.4

أضف $0$ و $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 = - 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$3 = - 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $3$ .

$\frac{3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 1$ .

$\frac{3 + 1}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $- x$ .

$\frac{3 + 1}{- x}$

خطوة 4.3.2

أضف $3$ و $1$ .

$\frac{4}{- x}$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

خطوة 5.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 5.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 4 \ln (| x |)$ بنقل $- 4$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{- 4}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(x + 3 y) d x - x d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x + 3 y$ في $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(x + 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x - x d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $x + 3 y$ في $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - x d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $- x$ في $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - x \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

خطوة 6.4.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

خطوة 6.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

خطوة 6.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x^{3}} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - \frac{1}{x^{3}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y + C$

خطوة 8.2

اجمع $y$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}} + g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{y}{x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{3}}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3}$ .

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3}$ .

$- y (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- y (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.3.5.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$- y (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.3.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- y (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.3.7

اضرب $x^{- 6}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.7.1

انقُل $x^{2}$ .

$- y (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- y (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.3.7.3

اطرح $6$ من $2$ .

$- y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.3.8

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$3 y x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y x^{- 4} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y \frac{1}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y \frac{3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.5.2.2

اجمع $y$ و $\frac{3}{x^{4}}$ .

$\frac{y \cdot 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.5.2.3

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$\frac{3 y}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اطرح $\frac{x + 3 y}{x^{4}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y}{x^{4}} - \frac{x + 3 y}{x^{4}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - (x + 3 y)}{x^{4}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - x - (3 y)}{x^{4}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - x - 3 y}{x^{4}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 y - x - 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.1

اطرح $3 y$ من $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{4}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2

أضف $- x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{4}} = 0$

خطوة 12.1.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{4}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

خطوة 12.1.2

أضف $\frac{1}{x^{3}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{1}{x^{3}}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 13.3

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 13.4

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 13.4.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

خطوة 13.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

خطوة 13.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ بالصيغة $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

خطوة 13.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.2.1

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

خطوة 13.6.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

خطوة 13.6.2.3

اضرب $2$ في $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$