حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ given the initial condition that $x (0) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ على $x e^{- t}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ على $x e^{- t}$ .

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

خطوة 1.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

خطوة 1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

خطوة 1.1.2.2.2

اقسِم $\frac{d x}{d t}$ على $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $e^{- t} x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

خطوة 1.4.3

اضرب $t$ في $1$ .

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{- t}$ وأخرِجها من القاسم.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

خطوة 2.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(e^{- t})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

خطوة 2.3.1.2.2

اضرب $- t \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

خطوة 2.3.1.2.2.2

اضرب $t$ في $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

خطوة 2.3.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t$ و $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

خطوة 2.3.3

تكامل $e^{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

خطوة 2.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ .

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $2$ من $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

خطوة 3.4.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

خطوة 3.4.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

خطوة 4

بما أن $x$ يساوي قيمة موجبة في الشرط الابتدائي $(0, 1)$ ، انظر فقط $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ لإيجاد $K$ . وعوّض بـ $0$ عن $t$ وبـ $1$ عن $x$ .

$1 = \sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$ .

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$

خطوة 5.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}}^{2} = 1^{2}$

خطوة 5.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$ في صورة ${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

خطوة 5.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

خطوة 5.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

${(2 (0 \cdot 1 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.2

اضرب $0$ في $1$ .

${(2 (0 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

${(2 (0 - 1 \cdot 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

${(2 (0 - 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.3.1

اطرح $1$ من $0$ .

${(2 (- 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

${(2 \cdot - 1 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.3.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

${(- 2 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3.3.2

بسّط.

$- 2 + 2 K = 1^{2}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 2 + 2 K = 1$

خطوة 5.4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$2 K = 1 + 2$

خطوة 5.4.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$2 K = 3$

خطوة 5.4.2

اقسِم كل حد في $2 K = 3$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

اقسِم كل حد في $2 K = 3$ على $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

خطوة 5.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

خطوة 5.4.2.2.1.2

اقسِم $K$ على $1$ .

$K = \frac{3}{2}$

خطوة 6

عوّض بـ $\frac{3}{2}$ عن $K$ في $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{3}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + \frac{3}{2})}$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$x = \sqrt{2 (e^{t} t + \frac{3}{2} - e^{t})}$

خطوة 6.3

لكتابة $e^{t} t$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (e^{t} t \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

خطوة 6.4

اجمع $e^{t} t$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

خطوة 6.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2 + 3}{2} - e^{t})}$

خطوة 6.6

انقُل $2$ إلى يسار $e^{t} t$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t})}$

خطوة 6.7

لكتابة $- e^{t}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t} \cdot \frac{2}{2})}$

خطوة 6.8

اجمع $- e^{t}$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} + \frac{- e^{t} \cdot 2}{2})}$

خطوة 6.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - e^{t} \cdot 2}{2}}$

خطوة 6.10

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}}$

خطوة 6.11

اجمع $2$ و $\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

خطوة 6.12

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.12.1

اختزِل العبارة $\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.12.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

خطوة 6.12.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \sqrt{\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{1}}$

خطوة 6.12.2

اقسِم $2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}$ على $1$ .

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$

خطوة 6.13

أعِد ترتيب العوامل في $x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$ .

$x = \sqrt{2 t e^{t} + 3 - 2 e^{t}}$