حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 x y + 3 y - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + 3 y - 4]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x y + 3 y - 4$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

خطوة 1.4.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + \frac{d}{d y} [- 4]$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + 0$

خطوة 1.5.2

أضف $3 x + 3$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = {(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${(x + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1)]$

خطوة 2.3

وسّع $(x + 1) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 1) + 1 (x + 1)]$

خطوة 2.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)]$

خطوة 2.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

خطوة 2.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

خطوة 2.4.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1]$

خطوة 2.4.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 \cdot 1]$

خطوة 2.4.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1]$

خطوة 2.4.2

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.9

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + 0$

خطوة 2.11

أضف $2 x + 2$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3 x + 3$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x + 2$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x + 3 = 2 x + 2$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$3 x + 3 = 2 x + 2$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $3 x + 3$ .

$\frac{3 x + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x + 2$ .

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x + 3 - (2 x) - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $2 x$ من $3 x$ .

$\frac{x + 3 - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.5

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $x + 1$ و ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب في $1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

أخرِج العامل $x + 1$ من ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

خطوة 4.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

خطوة 4.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x + 1}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 5.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

خطوة 5.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

خطوة 5.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | u | + C$

خطوة 5.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$ في عامل التكامل $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $3 x y + 3 y - 4$ في $x + 1$ .

$(3 x y + 3 y - 4) (x + 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.2

وسّع $(3 x y + 3 y - 4) (x + 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$(3 x y x + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

انقُل $x$ .

$(3 (x \cdot x) y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.3.2

اضرب $3$ في $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.3.4

اضرب $- 4$ في $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.4

أضف $3 x y$ و $3 y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

انقُل $y$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.4.2

أضف $3 x y$ و $3 x y$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب ${(x + 1)}^{2}$ في $x + 1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} (x + 1) d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب ${(x + 1)}^{2}$ في $x + 1$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اضرب ${(x + 1)}^{2}$ في $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1} d y = 0$

خطوة 6.6.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2 + 1} d y = 0$

خطوة 6.6.2

أضف $2$ و $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{3} d y = 0$

خطوة 6.7

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

خطوة 6.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

اضرب $3$ في $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

خطوة 6.8.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) d y = 0$

خطوة 6.8.3

اضرب $3$ في $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) d y = 0$

خطوة 6.8.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$y (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.3.6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.3.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.3.9

اضرب $2$ في $3$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.3.10

اضرب $3$ في $1$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.3.11

أضف $3 x^{2} + 6 x + 3$ و $0$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y (3 x^{2}) + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.1

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$3 \cdot y x^{2} + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.5.2.2

انقُل $6$ إلى يسار $y$ .

$3 y x^{2} + 6 \cdot y x + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.5.2.3

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$3 y x^{2} + 6 y x + 3 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $3 x^{2} y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y$

خطوة 12.1.2

اطرح $6 x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y$

خطوة 12.1.3

اطرح $3 y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$

خطوة 12.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1

اطرح $3 x^{2} y$ من $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 + 0 - 6 x y - 3 y$

خطوة 12.1.4.2

أضف $6 x y + 3 y - 4 x - 4$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 6 x y - 3 y$

خطوة 12.1.4.3

اطرح $6 x y$ من $6 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 + 0 - 3 y$

خطوة 12.1.4.4

أضف $3 y - 4 x - 4$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 - 3 y$

خطوة 12.1.4.5

اطرح $3 y$ من $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4 + 0$

خطوة 12.1.4.6

أضف $- 4 x - 4$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- 4 x - 4$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 4 x - 4 d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 4 x - 4 d x$

خطوة 13.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (x) = \int - 4 x d x + \int - 4 d x$

خطوة 13.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$g (x) = - 4 \int x d x + \int - 4 d x$

خطوة 13.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 d x$

خطوة 13.6

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 x + C$

خطوة 13.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$g (x) = - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 x + C$

خطوة 13.8

بسّط.

$g (x) = - 2 x^{2} - 4 x + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y - 2 x^{2} - 4 x + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + 1 y - 2 x^{2} - 4 x + C$

خطوة 15.2

اضرب $y$ في $1$ .

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + y - 2 x^{2} - 4 x + C$