حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d s}{d t} = 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d s = 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d s = \int 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{1} = \int 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $36$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 36 \int t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 9 t^{2} - 7$ . إذن $d u = 18 t d t$ ، لذا $\frac{1}{18} d u = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 9 t^{2} - 7$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $9 t^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 t^{2} - 7$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

خطوة 2.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [9 t^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $9 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$9 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7]$

خطوة 2.3.2.1.3.3

اضرب $2$ في $9$ .

$18 t + \frac{d}{d t} [- 7]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$18 t + 0$

خطوة 2.3.2.1.4.2

أضف $18 t$ و $0$ .

$18 t$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$s + C_{1} = 36 \int u^{3} \frac{1}{18} d u$

خطوة 2.3.3

اجمع $u^{3}$ و $\frac{1}{18}$ .

$s + C_{1} = 36 \int \frac{u^{3}}{18} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{18}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{18}$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 36 (\frac{1}{18} \int u^{3} d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{18}$ و $36$ .

$s + C_{1} = \frac{36}{18} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

أخرِج العامل $18$ من $36$ .

$s + C_{1} = \frac{18 \cdot 2}{18} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

أخرِج العامل $18$ من $18$ .

$s + C_{1} = \frac{18 \cdot 2}{18 (1)} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$s + C_{1} = \frac{18 \cdot 2}{18 \cdot 1} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 t^{2} - 7$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(9 t^{2} - 7)}^{4} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(9 t^{2} - 7)}^{4} + K$