حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{3}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $- \frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x + 1}) = {(x + 1)}^{3}$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $- \frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{3}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{2}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $- \frac{2}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

خطوة 2.2.4

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.2.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.4.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

${(x + 1)}^{- 2}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

خطوة 3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{2}{x + 1}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

خطوة 3.2.4

اضرب $- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب $\frac{2 y}{x + 1}$ في $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

خطوة 3.2.4.2

اضرب $x + 1$ في ${(x + 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

اضرب $x + 1$ في ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1.1

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

خطوة 3.2.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

خطوة 3.2.4.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{2}$ من ${(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = x + 1$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = x + 1$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int x + 1 d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x + 1 d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x d x + \int d x$

خطوة 7.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

خطوة 7.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

خطوة 7.4

بسّط.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ و $y$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + x + C$

خطوة 8.3

اضرب كلا الطرفين في ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 8.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

بسّط $(\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{x^{2}}{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

خطوة 8.4.2.1.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و ${(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

خطوة 8.4.2.1.3

لكتابة $x {(x + 1)}^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

خطوة 8.4.2.1.4

اجمع $x {(x + 1)}^{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + \frac{x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

خطوة 8.4.2.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

خطوة 8.4.2.1.6

أخرِج العامل $x {(x + 1)}^{2}$ من $x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.6.1

أخرِج العامل $x {(x + 1)}^{2}$ من $x^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

خطوة 8.4.2.1.6.2

أخرِج العامل $x {(x + 1)}^{2}$ من $x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

خطوة 8.4.2.1.6.3

أخرِج العامل $x {(x + 1)}^{2}$ من $x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

خطوة 8.4.2.1.7

لكتابة $C {(x + 1)}^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 8.4.2.1.8

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.8.1

اجمع $C {(x + 1)}^{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + \frac{C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

خطوة 8.4.2.1.8.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

خطوة 8.4.2.1.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.9.1

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{2}$ من $x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.9.1.1

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{2}$ من $x {(x + 1)}^{2} (x + 2)$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

خطوة 8.4.2.1.9.1.2

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{2}$ من $C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)}{2}$

خطوة 8.4.2.1.9.1.3

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{2}$ من ${(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2) + C \cdot 2)}{2}$

خطوة 8.4.2.1.9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

خطوة 8.4.2.1.9.3

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

خطوة 8.4.2.1.9.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 \cdot x + C \cdot 2)}{2}$

خطوة 8.4.2.1.9.5

انقُل $2$ إلى يسار $C$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 x + 2 C)}{2}$