حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$2 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

خطوة 1.3.2

اجمع.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

خطوة 1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

خطوة 1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} (\sec (θ))}$

خطوة 1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} \sec (θ)}$

خطوة 1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

خطوة 1.3.5

أخرِج العامل $\sin (θ)$ من $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sec (θ)}$

خطوة 1.3.6

افصِل الكسور.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sec (θ)}$

خطوة 1.3.7

أعِد كتابة $\sec (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

خطوة 1.3.8

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} (\sin (θ) \cos (θ))$

خطوة 1.3.9

اقسِم $\sin (θ)$ على $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$

خطوة 1.3.10

اضرب $\sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.10.1

ارفع $\sin (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin (θ) \cos (θ)$

خطوة 1.3.10.2

ارفع $\sin (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) \cos (θ)$

خطوة 1.3.10.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = {\sin (θ)}^{1 + 1} \cos (θ)$

خطوة 1.3.10.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (2 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

خطوة 1.4

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 2 \frac{d y}{d θ} = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 2 d y = \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{e^{y}} \cdot 2 d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اجمع $\frac{y}{e^{y}}$ و $2$ .

$\int \frac{y \cdot 2}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\int \frac{2 y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اعكِس علامة أُس $e^{y}$ وأخرِجها من القاسم.

$2 \int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.3.2

اضرب الأُسس في ${(e^{y})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.3.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$2 \int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.3.2.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$2 \int y e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{- y}$ .

$2 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.6.2

اضرب $\int e^{- y} d y$ في $1$ .

$2 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.7

لنفترض أن $u_{1} = - y$ . إذن $d u_{1} = - d y$ ، لذا $- d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

افترض أن $u_{1} = - y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1.1

أوجِد مشتقة $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 2.2.7.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 2.2.7.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$2 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.9

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1})) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.10

أعِد كتابة $2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1}))$ بالصيغة $2 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1}$ .

$2 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.2.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- y$ .

$2 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = \sin (θ)$ . إذن $d u_{2} = \cos (θ) d θ$ ، لذا $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{2} = d θ$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = \sin (θ)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

خطوة 2.3.1.1.2

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$2 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$2 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (θ)$ .

$2 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$2 (- y e^{- y} - e^{- y}) = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + K$