حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cos (x^{2})}{4 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{4 y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $4 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{y \cdot 4}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{y \cdot 4}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cos (x^{2})}{4}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x \cos (x^{2}) d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.3

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \int \cos (u) d u$

خطوة 2.3.6

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} (\sin (u) + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \sin (u) + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \sin (x^{2}) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $\sin (x^{2})$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x^{2})}{8} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{8} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{2 (4)} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{2 \cdot 4} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + K}$