حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} = e^{y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} = e^{y}$

خطوة 1.1.2

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x = e^{y} x$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x = e^{y} x$

خطوة 1.1.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = e^{y} x$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{y} x$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{y}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (x e^{y})$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $e^{y}$ من $x e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} x)$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} x)$

خطوة 1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{e^{y}} d y = x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{y}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{y})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.1.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.1.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $e^{- y}$ في $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = - y$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u = - y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 2.2.2.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 2.2.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int x d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int e^{u} d u = \int x d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$- e^{u} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ على $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم $e^{- y}$ على $1$ .

$e^{- y} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ بالصيغة $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$e^{- y} = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.4

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot K$

خطوة 3.1.3.1.5

أعِد كتابة $- 1 \cdot K$ بالصيغة $- K$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - K$

خطوة 3.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

خطوة 3.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وسّع $\ln (e^{- y})$ بنقل $- y$ خارج اللوغاريتم.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

خطوة 3.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

خطوة 3.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

خطوة 3.4

اقسِم كل حد في $- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اقسِم كل حد في $- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$ على $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

خطوة 3.4.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$ بالصيغة $- \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$ .

$y = - \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = - \ln (- \frac{x^{2}}{2} + K)$