حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- 4 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x}$

خطوة 1.1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x^{1}}$

خطوة 1.1.3.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{2}}{1}$

خطوة 1.1.3.1.2.5

اقسِم $- 4 x^{2}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} - 4 x^{2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (\frac{2}{x} - 4 x^{2}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{2}{x} - 4 x^{2} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} - 4 x^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x + \int - 4 x^{2} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int - 4 x^{2} d x$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 4 x^{2} d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) - 4 \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) + \frac{- 4}{3} x^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - \frac{4}{3} x^{3} + C_{4}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = - \frac{4}{3} x^{3} + 2 \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = - \frac{4}{3} x^{3} + 2 \ln (| x |) + C$