حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - 7 y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 7 y)$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 7 \frac{1}{y} y$

خطوة 1.2.2

اجمع $- 7$ و $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 7}{y} y$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 7}{y} y$

خطوة 1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 7$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = - 7 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 7 d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 7 d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 7 x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - 7 x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 7 x + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = - 7 x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 7 x + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{- 7 x + C}$ .

$| y | = e^{- 7 x + C}$

خطوة 3.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 7 x + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{- 7 x + C}$ بالصيغة $e^{- 7 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 7 x} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{- 7 x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 7 x}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{- 7 x}$