حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} = y + x y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = y + x y$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = y + x y$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

خطوة 1.1.3.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{y}{x} + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y$

خطوة 1.2.1.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y^{1}$

خطوة 1.2.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y \cdot 1$

خطوة 1.2.1.4

أخرِج العامل $y$ من $y \frac{1}{x} + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} + 1)$

خطوة 1.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} + \frac{x}{x})$

خطوة 1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x})$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x})$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

خطوة 3.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{x + C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{| y |}{| x |}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

خطوة 3.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{x + C} | x |$

خطوة 3.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{x + C}$

خطوة 3.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{x + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{x + C}$ بالصيغة $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{x} e^{C})$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{x})$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C | x | e^{x}$