حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$ , $r (1) = e$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $r$ من $r θ + r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $r$ من $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

خطوة 1.1.2

ارفع $r$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $r$ من $r^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

خطوة 1.1.4

أخرِج العامل $r$ من $r (θ) + r \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $θ$ من $r θ + θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $θ$ من $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

خطوة 1.2.2

ارفع $θ$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $θ$ من $θ^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

خطوة 1.2.4

أخرِج العامل $θ$ من $θ r + θ \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{r + 1}{r}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $\frac{r}{r + 1}$ في $\frac{θ + 1}{θ}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $r + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $r + 1$ من $(r + 1) θ$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

خطوة 1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

خطوة 1.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

خطوة 2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

خطوة 2.2.4

طبّق قاعدة الثابت.

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{r}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\ln (| r |)$ .

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

خطوة 2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{θ}$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\ln (| θ |)$ .

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $θ$ وبـ $e$ عن $r$ في $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ .

$e + \ln (| e |) = 1 + \ln (| 1 |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$ .

$1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$

خطوة 4.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 1 |) - \ln (| e |) = - 1 - C + e$

خطوة 4.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| e |}) = - 1 - C + e$

خطوة 4.4

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\ln (\frac{1}{| e |}) = - 1 - C + e$

خطوة 4.5

$e$ تساوي تقريبًا $2.71828182$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\ln (\frac{1}{e}) = - 1 - C + e$

خطوة 4.6

أعِد كتابة $\frac{1}{e}$ بالصيغة $1 e^{- 1}$ .

$\ln (1 e^{- 1}) = - 1 - C + e$

خطوة 4.7

أعِد كتابة $\ln (1 e^{- 1})$ بالصيغة $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\ln (1) + \ln (e^{- 1}) = - 1 - C + e$

خطوة 4.8

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $- 1$ خارج الأُس.

$\ln (1) - \ln (e) = - 1 - C + e$

خطوة 4.9

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (1) - 1 \cdot 1 = - 1 - C + e$

خطوة 4.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln (1) - 1 = - 1 - C + e$

خطوة 4.11

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$0 - 1 = - 1 - C + e$

خطوة 4.12

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1 = - 1 - C + e$

خطوة 4.13

بما أن $C$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$- 1 - C + e = - 1$

خطوة 4.14

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$- C + e = - 1 + 1$

خطوة 4.14.2

اطرح $e$ من كلا المتعادلين.

$- C = - 1 + 1 - e$

خطوة 4.14.3

أضف $- 1$ و $1$ .

$- C = 0 - e$

خطوة 4.14.4

اطرح $e$ من $0$ .

$- C = - e$

خطوة 4.15

اقسِم كل حد في $- C = - e$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.1

اقسِم كل حد في $- C = - e$ على $- 1$ .

$\frac{- C}{- 1} = \frac{- e}{- 1}$

خطوة 4.15.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{C}{1} = \frac{- e}{- 1}$

خطوة 4.15.2.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$C = \frac{- e}{- 1}$

خطوة 4.15.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$C = \frac{e}{1}$

خطوة 4.15.3.2

اقسِم $e$ على $1$ .

$C = e$

خطوة 5

عوّض بـ $e$ عن $C$ في $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $e$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + e$