حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y]$

خطوة 1.2

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1$

خطوة 1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.4

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

خطوة 2.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3 x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x = 2 x$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$3 x = 2 x$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $3 x$ .

$\frac{2 x - (3 x)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $3 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $3 x y$ .

$\frac{2 x - (3 x)}{3 x y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x - 1 \cdot 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2 - 1 \cdot 3 x}{3 x y}$

خطوة 4.3.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 1 \cdot 3 x$ .

$\frac{x \cdot 2 + x (- 1 \cdot 3)}{3 x y}$

خطوة 4.3.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 2 + x (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x (2 - 1 \cdot 3)}{3 x y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{x (2 - 3)}{3 x y}$

خطوة 4.3.2.3

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 x y}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot - 1}{3 x y}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{3 y}$

خطوة 4.3.4

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $3 x y$ .

$- \frac{1}{3 y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{3 y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{3 y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{3 y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.4

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $- \frac{1}{3} \ln (| y |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أعِد ترتيب $\ln (| y |)$ و $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \ln (| y |))} + C$

خطوة 5.5.1.2

بسّط $\frac{1}{3} \ln (| y |)$ بنقل $\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{1}{3}})} + C$

خطوة 5.5.2

بسّط $- \ln ({| y |}^{\frac{1}{3}})$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})} + C$

خطوة 5.5.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} + C$

خطوة 5.5.4

اضرب الأُسس في ${({| y |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} + C$

خطوة 5.5.4.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 1}{3}} + C$

خطوة 5.5.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{1}{3}} + C$

خطوة 5.5.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{1}{3}}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $3 x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $3 x y$ في $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$3 x y \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $3 x y \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$x y \frac{3}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2.2

اجمع $x$ و $\frac{3}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y \frac{x \cdot 3}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2.3

اجمع $y$ و $\frac{x \cdot 3}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{y (x \cdot 3)}{y^{\frac{1}{3}}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.3

انقُل $y^{\frac{1}{3}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y (x \cdot 3) y^{- \frac{1}{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $y$ في $y^{- \frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

انقُل $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$y^{- \frac{1}{3}} y (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.4.2

اضرب $y^{- \frac{1}{3}}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y^{- \frac{1}{3}} y^{1} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y^{- \frac{1}{3} + 1} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y^{\frac{- 1 + 3}{3}} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.4.5

أضف $- 1$ و $3$ .

$y^{\frac{2}{3}} (x \cdot 3) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 y^{\frac{2}{3}} x d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.6

أعِد ترتيب العوامل في $3 y^{\frac{2}{3}} x$ .

$3 x y^{\frac{2}{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.7

اضرب $x^{2} + y^{2}$ في $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$3 x y^{\frac{2}{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

خطوة 6.8

اضرب $x^{2} + y^{2}$ في $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$3 x y^{\frac{2}{3}} d x + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x y^{\frac{2}{3}} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 3 x y^{\frac{2}{3}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $3 y^{\frac{2}{3}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3 y^{\frac{2}{3}}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 y^{\frac{2}{3}} \int x d x$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 8.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $3 y^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $3 y^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 3 y^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} x^{2} + C$

خطوة 8.3.2.2

اجمع $y^{\frac{2}{3}}$ و $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{2} x^{2} + C$

خطوة 8.3.2.3

انقُل $3$ إلى يسار $y^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2} + C$

خطوة 8.3.2.4

اضرب $3$ في $y^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2} + C$

خطوة 8.3.2.5

اجمع $\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + C$

خطوة 8.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.2

اجمع $\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.3

بما أن $\frac{3 x^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.6

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.8.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.8.2

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{2}{3} y^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.10

اجمع $\frac{2}{3}$ و $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.11

اضرب $\frac{3 x^{2}}{2}$ في $\frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 x^{2} (2 y^{- \frac{1}{3}})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.12

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{6 x^{2} y^{- \frac{1}{3}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.13

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{6 x^{2} y^{- \frac{1}{3}}}{6} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.14

انقُل $y^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 x^{2}}{6 y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.15

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x^{2}}{6 y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.16

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

بسّط $\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - (x^{2} + y^{2})}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - x^{2} - y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.1.3

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.1.4

اطرح $y^{2}$ من $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{\frac{1}{3}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.2.1

انقُل $y^{\frac{1}{3}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{2} y^{- \frac{1}{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2

اضرب $y^{2}$ في $y^{- \frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.2.2.1

انقُل $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{d g}{d y} - (y^{- \frac{1}{3}} y^{2}) = 0$

خطوة 12.1.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{1}{3} + 2} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2.4

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.2.2.6.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{- 1 + 6}{3}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2.6.2

أضف $- 1$ و $6$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{5}{3}} = 0$

خطوة 12.1.2

أضف $y^{\frac{5}{3}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = y^{\frac{5}{3}}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $y^{\frac{5}{3}}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = y^{\frac{5}{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{\frac{5}{3}} d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{\frac{5}{3}} d y$

خطوة 13.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{\frac{5}{3}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}}$ .

$g (y) = \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

خطوة 15

بسّط $f (x, y) = \frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} x^{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $y^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} x^{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

خطوة 15.1.2

اجمع $\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + \frac{3}{8} y^{\frac{8}{3}} + C$

خطوة 15.1.3

اجمع $\frac{3}{8}$ و $y^{\frac{8}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + \frac{3 y^{\frac{8}{3}}}{8} + C$

خطوة 15.2

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = \frac{3 y^{\frac{2}{3}} x^{2}}{2} + \frac{3 y^{\frac{8}{3}}}{8} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{2} y^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{8}{3}}}{8} + C$