حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{\frac{y}{x}}$

خطوة 1

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2 \sqrt{V}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 3

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 \sqrt{V}$

خطوة 5

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 \sqrt{V} - V$

خطوة 5.1.1.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $V + 2 \sqrt{V} - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2 \sqrt{V}$

خطوة 5.1.1.1.2.2

أضف $0$ و $2 \sqrt{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$

خطوة 5.1.1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

خطوة 5.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

خطوة 5.1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

خطوة 5.1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sqrt{V}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

خطوة 5.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

أخرِج العامل $\sqrt{V}$ من $2 \sqrt{V}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V} \cdot 2}{x}$

خطوة 5.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V} \cdot 2}{x}$

خطوة 5.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

خطوة 5.1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{2}{x} d x$

خطوة 5.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 5.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{V}$ في صورة $V^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 5.2.2.1.2

انقُل $V^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 5.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 5.2.2.1.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 5.2.2.1.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 5.2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $V^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $V$ هو $2 V^{\frac{1}{2}}$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

خطوة 5.2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 5.2.3.3

بسّط.

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 5.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

اقسِم كل حد في $2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ على $2$ .

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 5.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 5.3.1.2.2

اقسِم $V^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 5.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 5.3.1.3.1.2

اقسِم $\ln (| x |)$ على $1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

خطوة 5.3.2

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

اضرب الأُسس في ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 5.3.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$V^{1} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 5.3.3.1.2

بسّط.

$V = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 5.4

بسّط ثابت التكامل.

$V = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

خطوة 6

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

خطوة 7

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

خطوة 7.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في ${(\ln (| x |) + C)}^{2} x$ .

$y = x {(\ln (| x |) + C)}^{2}$