حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x y}$ , $y (1) = 2$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{\ln (x)}{x}$ في $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x y}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.3.1.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int u d u$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln^{2} (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln^{2} (x)}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \ln^{2} (x) + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

خطوة 5

بما أن $y$ يساوي قيمة موجبة في الشرط الابتدائي $(1, 2)$ ، انظر فقط $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ لإيجاد $K$ . وعوّض بـ $1$ عن $x$ وبـ $2$ عن $y$ .

$2 = \sqrt{\ln^{2} (1) + K}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$ .

$\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$

خطوة 6.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{\ln^{2} (1) + K}}^{2} = 2^{2}$

خطوة 6.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\ln^{2} (1) + K}$ في صورة ${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط ${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(\ln^{2} (1) + K)}^{1} = 2^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

${(0^{2} + K)}^{1} = 2^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

${(0 + K)}^{1} = 2^{2}$

خطوة 6.3.2.1.3

بسّط بجمع الأصفار.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.3.1

أضف $0$ و $K$ .

$K^{1} = 2^{2}$

خطوة 6.3.2.1.3.2

بسّط.

$K = 2^{2}$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$K = 4$

خطوة 7

عوّض بـ $4$ عن $K$ في $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $4$ .

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 4}$