حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x y + x^{2}$

خطوة 1

اطرح $x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - x y = x^{2}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - x d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $- x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int x d x}$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

خطوة 2.4

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لنفترض أن $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ . إذن $d u_{1} = - x d x$ ، لذا $- \frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

افترض أن $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

أوجِد مشتقة $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 7.1.1.2

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 7.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x)$

خطوة 7.1.1.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x$

خطوة 7.1.1.4.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x$

خطوة 7.1.1.4.3

اجمع $\frac{- 2}{2}$ و $x$ .

$\frac{- 2 x}{2}$

خطوة 7.1.1.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2}$

خطوة 7.1.1.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1)}$

خطوة 7.1.1.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.1.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x}{1}$

خطوة 7.1.1.4.4.2.4

اقسِم $- x$ على $1$ .

$- x$

خطوة 7.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int - \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - \int \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 7.3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = e^{u_{1}}$ و $d v = \sqrt{- 2 u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.2

اضرب $3$ في $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.4

اجمع ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.5

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.6

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.7

اضرب $3$ في $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.8

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.8.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.9

اجمع ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.4.10

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

خطوة 7.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

خطوة 7.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

خطوة 7.6.2

اضرب $\int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ في $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

خطوة 7.7

بما أن $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ خارج التكامل.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.8

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

خطوة 7.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.1

أعِد كتابة $- (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ بالصيغة $- (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

خطوة 7.9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.2.1

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}}}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

خطوة 7.9.2.2

اجمع ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

خطوة 7.9.2.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

خطوة 7.9.2.4

اجمع $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ و $e^{u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

خطوة 7.9.2.5

أضف $- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ و $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - 0 + C$

خطوة 7.9.2.6

اضرب $- 1$ في $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

خطوة 7.9.2.7

أضف $0$ و $C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ على $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ على $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$