حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x + y + 1$

خطوة 1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - y = x + 1$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

خطوة 3.3

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x + e^{- x}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x + e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x e^{- x} + e^{- x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x e^{- x} + e^{- x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- x} y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$e^{- x} y = \int x e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

خطوة 7.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

خطوة 7.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

خطوة 7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

خطوة 7.4.2

اضرب $\int e^{- x} d x$ في $1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

خطوة 7.5

لنفترض أن $u_{1} = - x$ . إذن $d u_{1} = - d x$ ، لذا $- d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

افترض أن $u_{1} = - x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 7.5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 7.5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 7.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- x} d x$

خطوة 7.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- x} d x$

خطوة 7.7

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C) + \int e^{- x} d x$

خطوة 7.8

لنفترض أن $u_{2} = - x$ . إذن $d u_{2} = - d x$ ، لذا $- d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

افترض أن $u_{2} = - x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 7.8.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 7.8.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 7.8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C) + \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C) - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7.10

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C) - (e^{u_{2}} + C)$

خطوة 7.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.1

بسّط.

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{u_{1}} - e^{u_{2}} + C$

خطوة 7.11.2

اطرح $e^{u_{2}}$ من $- e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - 2 e^{u_{1}} + C$

خطوة 7.12

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{- x} y = - x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$ على $e^{- x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{- x} y = - x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$ على $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.1.1.2

اقسِم $- x$ على $1$ .

$y = - x + \frac{- 2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = - x + \frac{- 2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 8.3.1.2.2

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$y = - x - 2 + \frac{C}{e^{- x}}$