حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2}) d x + e^{x^{3}} d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})]$

خطوة 1.2

بما أن $e^{x^{3}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} y - x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

خطوة 1.4

بما أن $3 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x^{2} y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

خطوة 1.6

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

خطوة 1.7

بما أن $- x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + 0)$

خطوة 1.8

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

خطوة 1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

خطوة 1.9.2

أعِد ترتيب العوامل في $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = e^{x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3 x^{2} e^{x^{3}}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $3 x^{2} e^{x^{3}}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x^{3}} d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = e^{x^{3}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y + g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x^{3}} y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $e^{x^{3}} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3}$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

خطوة 8.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

خطوة 8.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3}$ .

$y (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

خطوة 8.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d g}{d x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

بسّط $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 0 + 0 + e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

خطوة 9.1.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

خطوة 9.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

خطوة 9.1.1.4

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

خطوة 9.1.1.4.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$

خطوة 9.1.1.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}}$

خطوة 9.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$

خطوة 9.1.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.2.1

اطرح $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ من $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}} + 0$

خطوة 9.1.2.2.2

أضف $- x^{2} e^{x^{3}}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $- x^{2} e^{x^{3}}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

خطوة 10.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = - \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

خطوة 10.4

لنفترض أن $u_{2} = e^{x^{3}}$ . إذن $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

افترض أن $u_{2} = e^{x^{3}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

خطوة 10.4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 10.4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 10.4.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 10.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

خطوة 10.4.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

خطوة 10.4.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

خطوة 10.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$g (x) = - \int \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 10.5

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = - (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

خطوة 10.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

أعِد كتابة $- (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{3} u_{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} u_{2} + C$

خطوة 10.6.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{x^{3}}$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

خطوة 12

بسّط $f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $e^{x^{3}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

خطوة 12.2

اطرح $\frac{e^{x^{3}}}{3}$ من $e^{x^{3}} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أعِد ترتيب $e^{x^{3}}$ و $y$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

خطوة 12.2.2

لكتابة $y e^{x^{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

خطوة 12.2.3

اجمع $y e^{x^{3}}$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

خطوة 12.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3 - e^{x^{3}}}{3} + C$

خطوة 12.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

انقُل $3$ إلى يسار $y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot (y e^{x^{3}}) - e^{x^{3}}}{3} + C$

خطوة 12.3.2

أخرِج العامل $e^{x^{3}}$ من $3 y e^{x^{3}} - e^{x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1

أخرِج العامل $e^{x^{3}}$ من $3 y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) - e^{x^{3}}}{3} + C$

خطوة 12.3.2.2

أخرِج العامل $e^{x^{3}}$ من $- e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1}{3} + C$

خطوة 12.3.2.3

أخرِج العامل $e^{x^{3}}$ من $e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y - 1)}{3} + C$