حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - 2 + e^{2 x + y - 1}$

خطوة 1

لنفترض أن $v = e^{2 x + y - 1}$ . استبدِل $v$ بجميع حالات حدوث $e^{2 x + y - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 + v$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d v}{d x}$ بإيجاد مشتقة $e^{2 x + y - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x + y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x + y - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + y - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + y - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + 0)$

خطوة 2.8

أضف $2 + y'$ و $0$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y')$

خطوة 3

عوّض بقيمة $e^{2 x + y - 1}$ التي تساوي $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v (2 + y')$

خطوة 4

عوّض بالمشتق مجددًا في المعادلة التفاضلية.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} - 2 = - 2 + v$

خطوة 5

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد قيمة $\frac{d v}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d v}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 + v + 2$

خطوة 5.1.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 2 + v + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v + 0$

خطوة 5.1.1.2.2

أضف $v$ و $0$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v$

خطوة 5.1.2

اضرب كلا الطرفين في $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

خطوة 5.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

خطوة 5.1.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} = v \cdot v$

خطوة 5.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.2.1

اضرب $v$ في $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v^{2}$

خطوة 5.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = 1$

خطوة 5.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

انقُل $v^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d x$

خطوة 6.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(v^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d x$

خطوة 6.2.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int d x$

خطوة 6.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $v^{- 2}$ بالنسبة إلى $v$ هو $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d x$

خطوة 6.2.3

أعِد كتابة $- v^{- 1} + C_{1}$ بالصيغة $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d x$

خطوة 6.3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 6.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- \frac{1}{v} = x + K$

خطوة 7

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$v, 1, 1$

خطوة 7.1.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$v$

خطوة 7.2

اضرب كل حد في $- \frac{1}{v} = x + K$ في $v$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب كل حد في $- \frac{1}{v} = x + K$ في $v$ .

$- \frac{1}{v} v = x v + K v$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{v}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

خطوة 7.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

خطوة 7.2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 = x v + K v$

خطوة 7.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x v + K v = - 1$ .

$x v + K v = - 1$

خطوة 7.3.2

أخرِج العامل $v$ من $x v + K v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

أخرِج العامل $v$ من $x v$ .

$v x + K v = - 1$

خطوة 7.3.2.2

أخرِج العامل $v$ من $K v$ .

$v x + v K = - 1$

خطوة 7.3.2.3

أخرِج العامل $v$ من $v x + v K$ .

$v (x + K) = - 1$

خطوة 7.3.3

اقسِم كل حد في $v (x + K) = - 1$ على $x + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اقسِم كل حد في $v (x + K) = - 1$ على $x + K$ .

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

خطوة 7.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

خطوة 7.3.3.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{- 1}{x + K}$

خطوة 7.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$v = - \frac{1}{x + K}$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $e^{2 x + y - 1}$ .

$e^{2 x + y - 1} = - \frac{1}{x + K}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{2 x + y - 1}) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

خطوة 9.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

وسّع $\ln (e^{2 x + y - 1})$ بنقل $2 x + y - 1$ خارج اللوغاريتم.

$(2 x + y - 1) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

خطوة 9.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$(2 x + y - 1) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

خطوة 9.2.3

اضرب $2 x + y - 1$ في $1$ .

$2 x + y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

خطوة 9.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x$

خطوة 9.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x + 1$