حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 x - 42}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{1}{6 x - 42} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{1}{6 x - 42} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{6 x - 42} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = 6 x - 42$ . إذن $d u = 6 d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = 6 x - 42$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $6 x - 42$ .

$\frac{d}{d x} [6 x - 42]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x - 42$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

خطوة 2.3.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

خطوة 2.3.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 42]$

خطوة 2.3.1.1.3.3

اضرب $6$ في $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 42]$

خطوة 2.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

بما أن $- 42$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 42$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 + 0$

خطوة 2.3.1.1.4.2

أضف $6$ و $0$ .

$6$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{6}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

خطوة 2.3.2.2

انقُل $6$ إلى يسار $u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{6 u} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 x - 42$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| 6 x - 42 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = \frac{1}{6} \ln (| 6 x - 42 |) + C$