حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8}{x - 7}$ , $y (8) = - 9$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = - \frac{8}{x - 7} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - \frac{8}{x - 7} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int - \frac{8}{x - 7} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \int \frac{8}{x - 7} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x - 7} d x)$

خطوة 2.3.3

اضرب $8$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x - 7} d x$

خطوة 2.3.4

لنفترض أن $u = x - 7$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

افترض أن $u = x - 7$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

خطوة 2.3.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.3.4.1.4

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - 8 (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$y + C_{1} = - 8 \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 7$ .

$y + C_{1} = - 8 \ln (| x - 7 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $8$ عن $x$ وبـ $- 9$ عن $y$ في $y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$ .

$- 9 = - 8 \ln (| 8 - 7 |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C = - 9$ .

$- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C = - 9$

خطوة 4.2

بسّط $- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اطرح $7$ من $8$ .

$- 8 \ln (| 1 |) + C = - 9$

خطوة 4.2.1.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$- 8 \ln (1) + C = - 9$

خطوة 4.2.1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$- 8 \cdot 0 + C = - 9$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $- 8$ في $0$ .

$0 + C = - 9$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $C$ .

$C = - 9$

خطوة 5

عوّض بـ $- 9$ عن $C$ في $y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $- 9$ .

$y = - 8 \ln (| x - 7 |) - 9$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $- 8 \ln (| x - 7 |)$ بنقل $8$ داخل اللوغاريتم.

$y = - \ln ({| x - 7 |}^{8}) - 9$

خطوة 5.2.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x - 7 |}^{8}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = - \ln ({(x - 7)}^{8}) - 9$