حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y^{2} d y = (y + 1) d x$

خطوة 1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x^{2} (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

خطوة 2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

خطوة 2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{1}{y + 1}$ و $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $y + 1$ من $x^{2} (y + 1)$ .

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} (y + 1) d x$

خطوة 2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} (y + 1) d x$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y^{2}}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم $y^{2}$ على $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

خطوة 3.2.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

					$y$
	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

خطوة 3.2.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			+	$y^{2}$	+	$y$

خطوة 3.2.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y^{2} + y$

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$

خطوة 3.2.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$

خطوة 3.2.1.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$

خطوة 3.2.1.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$

خطوة 3.2.1.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					-	$y$	-	$1$

خطوة 3.2.1.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- y - 1$

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					+	$y$	+	$1$

خطوة 3.2.1.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					+	$y$	+	$1$
							+	$1$

خطوة 3.2.1.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int y - 1 + \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y d y + \int - 1 d y + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.2.4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.2.5

لنفترض أن $u = y + 1$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

افترض أن $u = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 3.2.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.2.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.2.5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.2.5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 3.2.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.2.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.2.7

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| u |) + C_{4} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.2.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 3.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int x^{- 2} d x$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = - x^{- 1} + C_{5}$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $- x^{- 1} + C_{5}$ بالصيغة $- \frac{1}{x} + C_{5}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = - \frac{1}{x} + C_{5}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$