حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x (x y - 2) d x + (x^{3} + 2 y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 x (x y - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x (x y - 2)]$

خطوة 1.2

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x (x y - 2)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 x \frac{d}{d y} [x y - 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [x y - 2]$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y - 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2])$

خطوة 1.4

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2])$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2])$

خطوة 1.6

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x + \frac{d}{d y} [- 2])$

خطوة 1.7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x + 0)$

خطوة 1.8

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot x$

خطوة 1.9

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{1} x)$

خطوة 1.10

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{1} x^{1})$

خطوة 1.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{1 + 1}$

خطوة 1.12

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{3} + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 y]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 2.4

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0$

خطوة 2.5

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3 x^{2}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $3 x^{2}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x (x y - 2) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 3 x (x y - 2)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 \int x (x y - 2) d x$

خطوة 5.2

وسّع $x (x y - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = 3 \int x (x y) + x \cdot - 2 d x$

خطوة 5.2.2

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = 3 \int x \cdot x y + x \cdot - 2 d x$

خطوة 5.2.3

أعِد ترتيب $x$ و $- 2$ .

$f (x, y) = 3 \int x \cdot x y - 2 x d x$

خطوة 5.2.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{1} x y - 2 x d x$

خطوة 5.2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{1} x^{1} y - 2 x d x$

خطوة 5.2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (x, y) = 3 \int x^{1 + 1} y - 2 x d x$

خطوة 5.2.7

أضف $1$ و $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{2} y - 2 x d x$

خطوة 5.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = 3 (\int x^{2} y d x + \int - 2 x d x)$

خطوة 5.4

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 (y \int x^{2} d x + \int - 2 x d x)$

خطوة 5.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x)$

خطوة 5.6

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x)$

خطوة 5.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

خطوة 5.8

بسّط.

$f (x, y) = 3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + C$

خطوة 5.9

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 y$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y}{3} x^{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.2.1.2

اجمع $\frac{y}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.3.3

بما أن $\frac{x^{3}}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.3.5

بما أن $- x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.3.6

اضرب $\frac{x^{3}}{3}$ في $1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.3.7

أضف $\frac{x^{3}}{3}$ و $0$ .

$3 \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.3.8

اجمع $3$ و $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.3.9

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.3.9.2

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 y$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} = x^{3} + 2 y$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $x^{3}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 y - x^{3}$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{3} + 2 y - x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $x^{3}$ من $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $2 y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $2 y$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

خطوة 10.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (y) = 2 \int y d y$

خطوة 10.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 10.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

خطوة 10.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

خطوة 10.5.2.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{y}{3} x^{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

خطوة 12.1.2

اجمع $\frac{y}{3}$ و $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = 3 \frac{y x^{3}}{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

خطوة 12.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = 3 \frac{y x^{3}}{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

خطوة 12.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

خطوة 12.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 3 x^{2} + y^{2} + C$