حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x + 1$ , $y (2) = 3$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (x + 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x + 1 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x + 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int x d x + \int d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $2$ عن $x$ وبـ $3$ عن $y$ في $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$ .

$3 = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K = 3$

خطوة 4.2

بسّط $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 + K = 3$

خطوة 4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 + K = 3$

خطوة 4.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 + 2 + K = 3$

خطوة 4.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$4 + K = 3$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$K = 3 - 4$

خطوة 4.3.2

اطرح $4$ من $3$ .

$K = - 1$

خطوة 5

عوّض بـ $- 1$ عن $K$ في $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + x - 1$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + x - 1$