حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x (y^{2} + 1) d x + y (x^{2} + 2) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $3 x (y^{2} + 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$y (x^{2} + 2) d y = - 3 x (y^{2} + 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (y (x^{2} + 2)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x^{2} + 2$ من $y (x^{2} + 2)$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} ((x^{2} + 2) y) d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} ((x^{2} + 2) y) d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{y^{2} + 1}$ و $y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = - 3 \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (x (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.4

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (x (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $y^{2} + 1$ من $(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 2)} (x (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $y^{2} + 1$ من $x (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 2)} ((y^{2} + 1) x) d x$

خطوة 3.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 2)} ((y^{2} + 1) x) d x$

خطوة 3.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{x^{2} + 2} x d x$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{- 3}{x^{2} + 2}$ و $x$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u_{1} = y^{2} + 1$ . إذن $d u_{1} = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u_{1} = y^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

خطوة 4.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 4.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 4.2.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 y + 0$

خطوة 4.2.1.1.5

أضف $2 y$ و $0$ .

$2 y$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 4.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 4.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 4.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 4.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 4.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x)$

خطوة 4.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

خطوة 4.3.4

لنفترض أن $u_{2} = x^{2} + 2$ . إذن $d u_{2} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

افترض أن $u_{2} = x^{2} + 2$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

خطوة 4.3.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.3.4.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 4.3.4.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 4.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 4.3.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 4.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.8

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 4.3.9

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

اجمع $\ln (| x^{2} + 2 |)$ و $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 2 |) \cdot 3}{2} + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $\ln (| x^{2} + 2 |)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |)}{2} + C)$

خطوة 5.2.2.1.2

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 5.2.2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

اجمع $C$ و $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

خطوة 5.2.2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{- 3 \ln (| x^{2} + 2 |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{- 3 \ln (| x^{2} + 2 |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.2.1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = - 3 \ln (| x^{2} + 2 |) + C \cdot 2$

خطوة 5.2.2.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $C$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = - 3 \ln (| x^{2} + 2 |) + 2 C$

خطوة 5.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 2 |) = 2 C$

خطوة 5.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $\ln (| y^{2} + 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 2 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

بسّط $3 \ln (| x^{2} + 2 |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({| x^{2} + 2 |}^{3}) = 2 C$

خطوة 5.4.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}) = 2 C$

خطوة 5.5

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3})} = e^{2 C}$

خطوة 5.6

أعِد كتابة $\ln (| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}) = 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}$

خطوة 5.7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{2 C}$

خطوة 5.7.2

اقسِم كل حد في $| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{2 C}$ على ${| x^{2} + 2 |}^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

اقسِم كل حد في $| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{2 C}$ على ${| x^{2} + 2 |}^{3}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} = \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

خطوة 5.7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| x^{2} + 2 |}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} = \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

خطوة 5.7.2.2.1.2

اقسِم $| y^{2} + 1 |$ على $1$ .

$| y^{2} + 1 | = \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

خطوة 5.7.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

خطوة 5.7.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} - 1$

خطوة 5.7.5

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} - 1}$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} - 1}$

خطوة 6.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} - 1}$