حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + x}$ , $y (0) = 3$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{1}{2 + x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{1}{2 + x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 + x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = 2 + x$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = 2 + x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.1.1.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 2.3.1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + x$ .

$y + C_{1} = \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $3$ عن $y$ في $y = \ln (| 2 + x |) + C$ .

$3 = \ln (| 2 + 0 |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\ln (| 2 + 0 |) + C = 3$ .

$\ln (| 2 + 0 |) + C = 3$

خطوة 4.2

بسّط $\ln (| 2 + 0 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $2$ و $0$ .

$\ln (| 2 |) + C = 3$

خطوة 4.2.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\ln (2) + C = 3$

خطوة 4.3

اطرح $\ln (2)$ من كلا المتعادلين.

$C = 3 - \ln (2)$

خطوة 5

عوّض بـ $3 - \ln (2)$ عن $C$ في $y = \ln (| 2 + x |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $3 - \ln (2)$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + 3 - \ln (2)$

خطوة 5.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| 2 + x |}{2}) + 3$