حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 3 y + x - 3}{x y + 2 y - x - 2}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y - 3 y) + x - 3}{x y + 2 y - x - 2}$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 3) + 1 (x - 3)}{x y + 2 y - x - 2}$

خطوة 1.1.2

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{x y + 2 y - x - 2}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x y + 2 y) - x - 2}$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{y (x + 2) - (x + 2)}$

خطوة 1.2.2

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x + 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x + 2) (y - 1)}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 3}{x + 2} \cdot \frac{y + 1}{y - 1}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y - 1}{y + 1}$ .

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} (\frac{x - 3}{x + 2} \cdot \frac{y + 1}{y - 1})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $\frac{x - 3}{x + 2}$ في $\frac{y + 1}{y - 1}$ .

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x + 2) (y - 1)}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $y - 1$ من $(x + 2) (y - 1)$ .

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(y - 1) (x + 2)}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(y - 1) (x + 2)}$

خطوة 1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{x + 2}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $y + 1$ من $(x - 3) (y + 1)$ .

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) (x - 3)}{x + 2}$

خطوة 1.5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) (x - 3)}{x + 2}$

خطوة 1.5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 3}{x + 2}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y - 1}{y + 1} d y = \frac{x - 3}{x + 2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y - 1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم $y - 1$ على $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$1$

$y$

$1$

خطوة 2.2.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	-	$1$

خطوة 2.2.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			+	$y$	+	$1$

خطوة 2.2.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$1$

خطوة 2.2.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$1$
					-	$2$

خطوة 2.2.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 1 - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d y + \int - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} + \int - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} - \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} - (2 \int \frac{1}{y + 1} d y) = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.7

لنفترض أن $u_{1} = y + 1$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

افترض أن $u_{1} = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 2.2.7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.7.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.8

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - 2 (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.9

بسّط.

$y - 2 \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

خطوة 2.2.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y + 1$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم $x - 3$ على $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$x$

$3$

خطوة 2.3.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	-	$3$

خطوة 2.3.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			+	$x$	+	$2$

خطوة 2.3.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 2$

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			-	$x$	-	$2$

خطوة 2.3.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			-	$x$	-	$2$
					-	$5$

خطوة 2.3.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int 1 - \frac{5}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{5}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{5}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{5}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - (5 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

خطوة 2.3.6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{x + 2} d x$

خطوة 2.3.7

لنفترض أن $u_{2} = x + 2$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

افترض أن $u_{2} = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 2.3.7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.7.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.8

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

خطوة 2.3.9

بسّط.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

خطوة 2.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 2$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| x + 2 |) + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) = x - 5 \ln (| x + 2 |) + C$