حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d z}{d t} - \frac{1}{2 t} z = 0$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = - \frac{1}{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{1}{2 t} d t}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $- \frac{1}{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{2 t} d t}$

خطوة 1.2.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t)}$

خطوة 1.2.3

تكامل $\frac{1}{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| t |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| t |) + C)}$

خطوة 1.2.4

بسّط.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| t |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (t)}$

خطوة 1.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (t^{- \frac{1}{2}})}$

خطوة 1.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$t^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d z}{d t} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ و $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 2.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 2.2.3

اجمع $\frac{1}{2 t}$ و $z$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 2.2.4

اضرب $- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اضرب $\frac{z}{2 t}$ في $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $t$ في $t^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

انقُل $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t)} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 2.2.4.2.2

اضرب $t^{\frac{1}{2}}$ في $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 2.2.4.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 2.2.4.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 2.2.4.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 2.2.4.2.5

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 2.3

اضرب $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ في $0$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = 0$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] = 0$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] d t = \int 0 d t$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = \int 0 d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

تكامل $0$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = 0 + C$

خطوة 6.2

أضف $0$ و $C$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = C$

خطوة 7

أوجِد قيمة $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ و $z$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} = C$

خطوة 7.2

اضرب كلا الطرفين في $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

خطوة 7.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$z = C t^{\frac{1}{2}}$