حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + y \tan (x) = \sec (x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\tan (x)) = \sec (x)$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \tan (x) y = \sec (x)$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \tan (x) d x}$

خطوة 2.2

تكامل $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (\sec (x))}$

خطوة 2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\sec (x)$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \sec (x)$

خطوة 3.2

اضرب $\sec (x) \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec^{1} (x) \sec (x)$

خطوة 3.2.2

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec^{1} (x) \sec^{1} (x)$

خطوة 3.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = {\sec (x)}^{1 + 1}$

خطوة 3.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec^{2} (x)$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec^{2} (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\sec (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 7

بما أن مشتق $\tan (x)$ هو $\sec^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (x)$ هو $\tan (x)$ .

$\sec (x) y = \tan (x) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $\sec (x) y = \tan (x) + C$ على $\sec (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $\sec (x) y = \tan (x) + C$ على $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y = \frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

خطوة 8.3.1.2

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

خطوة 8.3.1.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

خطوة 8.3.1.4

اكتب $\cos (x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

خطوة 8.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

خطوة 8.3.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \sin (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

خطوة 8.3.1.6

افصِل الكسور.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

خطوة 8.3.1.7

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

خطوة 8.3.1.8

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

خطوة 8.3.1.9

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

خطوة 8.3.1.10

اقسِم $C$ على $1$ .

$y = \sin (x) + C \cos (x)$