حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x y y' = y^{2} - 2 x^{3}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 2 x^{3}$

خطوة 2

لنفترض أن $v = y^{2}$ . استبدِل $v$ بجميع حالات حدوث $y^{2}$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} = v - 2 x^{3}$

خطوة 3

أوجِد $\frac{d v}{d x}$ بإيجاد مشتقة $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

خطوة 4

عوّض بالمشتق مجددًا في المعادلة التفاضلية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $2 y$ من $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

خطوة 4.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

خطوة 4.3

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d v}{d x} = v - 2 x^{3}$

خطوة 5

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $v$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

خطوة 5.3.2

اقسِم $\frac{d v}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

خطوة 5.4

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x}$

خطوة 5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}}$

خطوة 5.4.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

خطوة 5.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

خطوة 5.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{1}$

خطوة 5.4.2.5

اقسِم $- 2 x^{2}$ على $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = - 2 x^{2}$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $v$ من $\frac{- v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{- 1}{x} = - 2 x^{2}$

خطوة 5.6

أعِد ترتيب $v$ و $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{x} v = - 2 x^{2}$

خطوة 6

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل $\frac{- 1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

خطوة 6.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 6.2.4

بسّط.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

خطوة 6.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (x)}$

خطوة 6.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

خطوة 6.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 1}$

خطوة 6.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 7

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

خطوة 7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

خطوة 7.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

خطوة 7.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

خطوة 7.2.4

اجمع $\frac{1}{x}$ و $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

خطوة 7.2.5

اضرب $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

اضرب $\frac{v}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

خطوة 7.2.5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

خطوة 7.2.5.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

خطوة 7.2.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

خطوة 7.2.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

خطوة 7.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 \frac{1}{x} x^{2}$

خطوة 7.4

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} x^{2}$

خطوة 7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

خطوة 7.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

خطوة 7.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 x$

خطوة 8

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 2 x$

خطوة 9

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 2 x d x$

خطوة 10

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x} v = \int - 2 x d x$

خطوة 11

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x} v = - 2 \int x d x$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 11.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

أعِد كتابة $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 11.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

خطوة 11.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

خطوة 11.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

خطوة 11.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

خطوة 11.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

خطوة 11.3.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{1}{x} v = - x^{2} + C$

خطوة 12

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $v$ .

$\frac{v}{x} = - x^{2} + C$

خطوة 12.2

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

خطوة 12.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

خطوة 12.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$v = (- x^{2} + C) x$

خطوة 12.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1

بسّط $(- x^{2} + C) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$v = - x^{2} x + C x$

خطوة 12.3.2.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$v = - (x \cdot x^{2}) + C x$

خطوة 12.3.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$v = - (x^{1} x^{2}) + C x$

خطوة 12.3.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$v = - x^{1 + 2} + C x$

خطوة 12.3.2.1.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$v = - x^{3} + C x$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $y^{2}$ .

$y^{2} = - x^{3} + C x$

خطوة 14

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- x^{3} + C x}$

خطوة 14.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{3} + C x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + C x}$

خطوة 14.2.2

أخرِج العامل $x$ من $C x$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + x C}$

خطوة 14.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x (- x^{2}) + x C$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

خطوة 14.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

خطوة 14.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

خطوة 14.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$