حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x - 3) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 6 x + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3

بما أن $6 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

خطوة 1.5

أضف $0$ و $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y (2 x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x - 3)]$

خطوة 2.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $y (2 x - 3)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.6

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 2.7

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

خطوة 2.8.2

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 y$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 y = 2 y$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x - 3) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = y (2 x - 3)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $2 x - 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2 x - 3$ خارج التكامل.

$f (x, y) = (2 x - 3) \int y d y$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $(2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3.2

بما أن $\frac{y^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3.6

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3.7

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3.8

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3.9

اجمع $\frac{y^{2}}{2}$ و $2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3.10

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3.11

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3.11.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $6 x + y^{2} - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $y^{2}$ من $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $6 x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $6 x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

خطوة 10.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$g (x) = 6 \int x d x$

خطوة 10.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 10.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أعِد كتابة $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 10.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12

بسّط $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$f (x, y) = (2 (x) \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = (x - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.3

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = (x + \frac{- 3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (x, y) = (x - \frac{3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.6

اجمع $y^{2}$ و $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{y^{2} \cdot 3}{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.7

انقُل $3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.8

أعِد ترتيب عوامل $x y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} x - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.9

جمّع $y^{2} x$ و $- \frac{3 y^{2}}{2}$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.9.1

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $x$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.9.2

لكتابة $x y^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.9.3

اجمع $x y^{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.9.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.10.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.10.1.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x y^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.10.1.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- 3 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3}{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.10.1.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.1.10.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.2

لكتابة $3 x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 12.3

اجمع $3 x^{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + \frac{3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

خطوة 12.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3) + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

خطوة 12.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

خطوة 12.5.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

خطوة 12.5.3

انقُل $- 3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 \cdot y^{2} + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

خطوة 12.5.4

اضرب $2$ في $3$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 y^{2} + 6 x^{2}}{2} + C$