حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ , $y (0) = π$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}} d x$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arcsin (\frac{x}{4})$

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$ بالصيغة $\arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $π$ عن $y$ في $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ .

$π = \arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $0$ .

$\arcsin (0) + K = π$

خطوة 4.2.1.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$0 + K = π$

خطوة 4.2.1.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = π$

خطوة 5

عوّض بـ $π$ عن $K$ في $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $π$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + π$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x$ .

$y = \arcsin (\frac{x}{4}) + π$